Тематичні путівники Освітній календар 2026/2027 Шаблони та списки перевірки Зрозуміти польську школу Безкоштовне навчання для дорослих Калькулятор балів до середньої школи Вихідні Середній бал Іспити: тести й план Школи та пороги Застосунок NAUKOMAPA LAB Математика, матура Повторення тем, приклади завдань із поясненнями та тести. Завдання авторські, а офіційні аркуші є на сайті CKE.
Підготовка План навчання Мій поступ Пробний іспит Результати в Польщі Теми й повторення Дійсні числа, степені й корені Степінь із раціональним показником: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) для a > 0, наприклад 8^(2/3) = (∛8)² = 4. Від’ємний показник: a^(−n) = 1/aⁿ. Дії зі степенями: aʳ · aˢ = aʳ⁺ˢ, aʳ : aˢ = aʳ⁻ˢ, (aʳ)ˢ = aʳ·ˢ. Корінь непарного степеня існує і з від’ємного числа: ∛(−8) = −2. Квадратний корінь завжди невід’ємний: √((−3)²) = 3. Монотонність степеня: якщо a > 1 і x < y, то aˣ < aʸ; якщо 0 < a < 1 і x < y, то aˣ > aʸ. Модуль |x − a| – це відстань від x до a на числовій прямій. Рівняння |x − a| = c (c > 0) має розв’язки x = a − c та x = a + c. Кругла дужка не включає кінець проміжку, а квадратна включає: до (−3, 5] належить 5, але не належить −3. Потренуй цю тему (8) → Логарифми Означення: logₐ b = c тоді й лише тоді, коли aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0). logₐ a = 1 та logₐ 1 = 0. Запис log b означає логарифм за основою 10. Логарифм добутку: logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y. Логарифм частки: logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y. Логарифм степеня: logₐ xʳ = r · logₐ x. Потренуй цю тему (6) → Відсотки, депозити та кредити Зростання на p%: множимо на (1 + p/100). Зменшення на p%: множимо на (1 − p/100). Складні відсотки: після n періодів нарахування Kₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ. Відсотки за наступний період нараховують і на попередні відсотки, тому зростання швидше, ніж за простого додавання. Відсотковий пункт – це різниця відсотків: зростання з 4% до 5% – це 1 відсотковий пункт, але 25% початкового значення. Повернення до значення після зростання: після зростання на 25% треба зменшити на 20%, бо 1,25 · 0,8 = 1. Потренуй цю тему (5) → Подільність і прості доведення Парне число: 2k, непарне: 2k + 1, де k – ціле. Число, що під час ділення на m дає остачу r: m · k + r. Із двох послідовних цілих чисел одне парне, а з трьох послідовних одне ділиться на 3. Звідси n(n + 1) парне, а (n − 1)n(n + 1) = n³ − n ділиться на 6. Остача добутку або суми залежить лише від остач множників або доданків. Приклад не є доведенням: твердження «для кожного n» спростовує один контрприклад, але не підтверджує навіть багато прикладів. Потренуй цю тему (4) → Алгебраїчні вирази Формули скороченого множення: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b). (a + b)² – це не a² + b²: бракує доданка 2ab. Винесення за дужки: 3x²y − 6xy² = 3xy(x − 2y). Раціональний вираз має сенс, коли знаменник відмінний від 0. Скорочувати можна лише множники, а не доданки. Ділення раціональних виразів – це множення на обернений вираз; спочатку розклади чисельники і знаменники на множники. Потренуй цю тему (7) → Рівняння та нерівності Під час множення або ділення нерівності на від’ємне число її знак змінюється на протилежний: −2x > 4 дає x < −2. Лінійне рівняння може бути тотожністю (кожне число є розв’язком) або не мати розв’язків. Квадратне рівняння ax² + bx + c = 0: Δ = b² − 4ac. Якщо Δ > 0: x = (−b ± √Δ)/(2a). Якщо Δ = 0: x = −b/(2a). Якщо Δ < 0: дійсних розв’язків немає. Квадратну нерівність розв’язуємо за допомогою нулів і ескіза параболи: якщо a > 0, від’ємні значення лежать між нулями. Рівняння у вигляді добутку: добуток дорівнює 0, коли один із множників дорівнює 0. Не діли обидві частини на вираз з x, не перевіривши його знака і нуля: можна загубити розв’язки. У дробах запиши умову: знаменник відмінний від 0. Потренуй цю тему (10) → Системи рівнянь Систему двох лінійних рівнянь розв’язуємо методом підстановки або методом додавання. Визначена система має один розв’язок: прямі перетинаються. Невизначена система має безліч розв’язків: прямі збігаються. Несумісна система не має розв’язків: прямі паралельні й різні. Розв’язок завжди перевіряємо в обох рівняннях. У текстовій задачі познач два невідомі й запиши дві незалежні умови. Потренуй цю тему (4) → Функції та їхні властивості Функція кожному аргументу з області визначення ставить у відповідність рівно одне значення. Область визначення – це множина аргументів, множина значень – це множина значень функції. Нуль функції – це аргумент, для якого f(x) = 0. На графіку: точка перетину з віссю Ox. Графік y = f(x − a) – це графік f, зміщений на a праворуч (для a > 0). Графік y = f(x) + b – це графік f, зміщений на b угору (для b > 0). Функція f(x) = a/x описує обернено пропорційні величини: добуток x · f(x) сталий і дорівнює a. Показникова функція f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1) зростає для a > 1 і спадає для 0 < a < 1; її значення додатні. Логарифмічна функція f(x) = logₐ x має область визначення (0, +∞) і нуль x = 1. Потренуй цю тему (12) → Лінійна функція Формула: f(x) = ax + b. Коефіцієнт a – це кутовий коефіцієнт, а b – ордината точки перетину з віссю Oy. a > 0: функція зростає; a < 0: спадає; a = 0: стала. Нуль функції (для a ≠ 0): x = −b/a. Пряма через дві точки: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), а потім b з підстановки однієї точки. У застосуваннях a – це зміна на одиницю (наприклад вартість за кілометр), а b – початкове значення (наприклад стартова плата). Потренуй цю тему (5) → Квадратична функція та оптимізація Загальний вигляд: f(x) = ax² + bx + c. Канонічний: f(x) = a(x − p)² + q, де W = (p, q) – вершина. Розклад на множники: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Вершина: p = −b/(2a), q = f(p) = −Δ/(4a). a > 0: вітки вгору, q – найменше значення. a < 0: вітки вниз, q – найбільше значення. Найбільше і найменше значення на закритому проміжку шукаємо серед значень на кінцях проміжку та в точці p, якщо p належить до проміжку. Кількість нулів залежить від Δ: Δ > 0 два, Δ = 0 один, Δ < 0 немає. Задача на оптимізацію: запиши величину як квадратичну функцію однієї змінної, визнач область, знайди вершину й дай відповідь на запитання. Потренуй цю тему (11) → Послідовності Арифметична прогресія: aₙ = a₁ + (n − 1)r; сума n перших членів: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n. Геометрична прогресія: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹; сума: Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ)/(1 − q) для q ≠ 1. Три послідовні члени: арифметична прогресія, якщо 2b = a + c; геометрична, якщо b² = a · c. Зростаюча послідовність: aₙ₊₁ > aₙ для кожного n. Перевіряємо знак різниці aₙ₊₁ − aₙ. Член із суми: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ для n ≥ 2. Рекурентну послідовність обчислюємо член за членом від заданого початку. Потренуй цю тему (12) → Тригонометрія У прямокутному трикутнику: sin α = протилежний катет / гіпотенуза; cos α = прилеглий катет / гіпотенуза; tg α = протилежний катет / прилеглий катет. Значення: sin 30° = cos 60° = 1/2; sin 45° = cos 45° = √2/2; sin 60° = cos 30° = √3/2; tg 30° = √3/3; tg 45° = 1; tg 60° = √3. Тотожності: sin²α + cos²α = 1 та tg α = sin α / cos α. Для тупого кута: sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, а sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α. Теорема косинусів: c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Площа трикутника: S = (1/2) · a · b · sin γ, де γ – кут між сторонами a і b. Потренуй цю тему (7) → Планіметрія Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу. Вписаний кут, що спирається на діаметр, прямий. Дотична перпендикулярна до радіуса в точці дотику. Відрізки дотичних, проведених з однієї точки, рівні. Сектор із кутом α: площа = (α/360°) · πr², довжина дуги = (α/360°) · 2πr. Теорема Фалеса: паралельні прямі відтинають на сторонах кута пропорційні відрізки. Подібні фігури з коефіцієнтом k: периметри відносяться як k, а площі – як k². Вид трикутника з найдовшою стороною c: a² + b² > c² гострокутний, a² + b² = c² прямокутний, a² + b² < c² тупокутний. Особливі точки: центр вписаного кола (бісектриси), центр описаного кола (серединні перпендикуляри), центроїд (медіани, відношення 2 : 1), ортоцентр (висоти). У прямокутному трикутнику R = c/2 та r = (a + b − c)/2. Площа правильного шестикутника зі стороною a: 6 · a²√3/4. Потренуй цю тему (14) → Аналітична геометрія Відстань між точками: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Середина відрізка: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Прямі y = a₁x + b₁ і y = a₂x + b₂: паралельні, якщо a₁ = a₂; перпендикулярні, якщо a₁ · a₂ = −1. Спільна точка двох прямих – це розв’язок системи їхніх рівнянь. Коло з центром (a, b) і радіусом r: (x − a)² + (y − b)² = r². Симетрії точки (x, y): відносно осі Ox: (x, −y); відносно осі Oy: (−x, y); відносно початку координат: (−x, −y). У паралелограмі ABCD діагоналі діляться навпіл: A + C = B + D (за координатами). Потренуй цю тему (9) → Стереометрія Призма: V = Sₒ · H. Піраміда: V = (1/3) · Sₒ · H, де Sₒ – площа основи. Циліндр: V = πr²H, Sб = 2πrH. Конус: V = (1/3)πr²H, Sб = πrl, де l² = r² + H². Куля: V = (4/3)πr³, S = 4πr². Діагональ куба з ребром a: a√3. Діагональ прямокутного паралелепіпеда: √(a² + b² + c²). Кут між прямою і площиною – це кут між прямою та її проєкцією на площину, наприклад кут діагоналі многогранника з діагоналлю основи. Кут між бічною гранню й основою правильної чотирикутної піраміди: tg α = H : (a/2). Подібні тіла з коефіцієнтом k: площі поверхонь відносяться як k², об’єми – як k³. Мимобіжні прямі не перетинаються і не паралельні; вони можуть бути перпендикулярними, наприклад ребра AB і CG куба. Потренуй цю тему (10) → Комбінаторика Правило множення: коли вибір складається з послідовних етапів, кількості можливостей на етапах перемножуємо. Правило додавання: коли випадки виключають один одного, їхні кількості додаємо. Трицифрове число: перша цифра не може бути нулем, тому має 9 можливостей. Коли умова стосується кількох місць, почни з найбільш обмеженого місця, наприклад останньої цифри для парності, і розбий задачу на випадки. Потренуй цю тему (4) → Імовірність і статистика Класична модель: P(A) = кількість сприятливих результатів : кількість усіх результатів, коли всі вони рівноможливі. Протилежна подія: P(A′) = 1 − P(A). Часто простіше порахувати протилежну подію. Кидання двох кубиків має 6 · 6 = 36 результатів, а пари впорядковані: (1, 2) і (2, 1) – це два результати. Середнє зважене: (w₁x₁ + ... + wₙxₙ) : (w₁ + ... + wₙ). Медіана: середнє за розташуванням значення впорядкованих даних, а за парної кількості даних – середнє двох центральних. Мода – це значення, яке трапляється найчастіше. Потренуй цю тему (10) → Приклади завдань Завдання 1 · Дійсні числа, степені й корені Число 27^(2/3) · 3^(−1) дорівнює:
9 1/3 6 3 Відповідь: 3
27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9, а 3^(−1) = 1/3. Добуток: 9 · 1/3 = 3.
Завдання 2 · Логарифми Обчисли log₃ 81.
Відповідь: 4
3⁴ = 81, отже, log₃ 81 = 4.
Завдання 3 · Відсотки, депозити та кредити На депозит поклали 5000 зл на рік під 4% річних. Скільки злотих буде на депозиті через рік? Податок не враховуй.
Відповідь: 5200
Відсотки: 4% · 5000 = 200 зл. Разом: 5000 + 200 = 5200 зл.
Завдання 4 · Алгебраїчні вирази Вираз (x − 3)² дорівнює:
x² − 6x + 9 x² − 9 x² + 9 x² − 3x + 9 Відповідь: x² − 6x + 9
(a − b)² = a² − 2ab + b², тому x² − 2 · x · 3 + 9 = x² − 6x + 9. Запис x² − 9 пропускає середній доданок.
Завдання 5 · Рівняння та нерівності Множиною розв’язків нерівності 3x − 5 ≤ 7 є проміжок:
(−∞, 4] (−∞, 4) [4, +∞) (−∞, 2/3] Відповідь: (−∞, 4]
3x ≤ 12, отже, x ≤ 4. Нерівність нестрога, тому 4 належить до множини, звідси квадратна дужка.
Офіційні аркуші CKE На сторінці кожного року є аркуші й критерії оцінювання з усіх предметів. Ми лише даємо посилання, матеріали публікує CKE. Це аркуші Формули 2023.
Усі роки на сайті CKE ↗
Пробні аркуші CKE з’являться на сайті CKE в день публікації.