Przewodniki tematyczne Kalendarz edukacji 2026/2027 Szablony i checklisty Polska szkoła bez tajemnic Bezpłatna nauka dla dorosłych Kalkulator punktów do szkoły średniej Dni wolne Średnia ocen Egzaminy: testy i plan Szkoły i progi Aplikacja NAUKOMAPA LAB Matematyka, matura Powtórka tematów, przykładowe zadania z wyjaśnieniami i testy. Zadania są naszego autorstwa, a oficjalne arkusze znajdziesz na stronie CKE.
Przygotowanie Plan nauki Moje postępy Próbny egzamin Wyniki w Polsce Tematy i powtórka Liczby rzeczywiste, potęgi i pierwiastki Potęga o wykładniku wymiernym: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) dla a > 0, np. 8^(2/3) = (∛8)² = 4. Wykładnik ujemny: a^(−n) = 1/aⁿ. Działania na potęgach: aʳ · aˢ = aʳ⁺ˢ, aʳ : aˢ = aʳ⁻ˢ, (aʳ)ˢ = aʳ·ˢ. Pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje także z liczby ujemnej: ∛(−8) = −2. Pierwiastek kwadratowy jest zawsze nieujemny: √((−3)²) = 3. Monotoniczność potęgowania: gdy a > 1 i x < y, to aˣ < aʸ; gdy 0 < a < 1 i x < y, to aˣ > aʸ. Wartość bezwzględna |x − a| to odległość x od a na osi. Równanie |x − a| = c (c > 0) ma rozwiązania x = a − c oraz x = a + c. Nawias okrągły nie zawiera końca przedziału, a kwadratowy zawiera: do (−3, 5] należy 5, ale nie należy −3. Ćwicz ten temat (8) → Logarytmy Definicja: logₐ b = c wtedy i tylko wtedy, gdy aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0). logₐ a = 1 oraz logₐ 1 = 0. Zapis log b oznacza logarytm o podstawie 10. Logarytm iloczynu: logₐ (x · y) = logₐ x + logₐ y. Logarytm ilorazu: logₐ (x / y) = logₐ x − logₐ y. Logarytm potęgi: logₐ xʳ = r · logₐ x. Ćwicz ten temat (6) → Procenty, lokaty i kredyty Wzrost o p%: mnożymy przez (1 + p/100). Spadek o p%: mnożymy przez (1 − p/100). Procent składany: po n okresach kapitalizacji Kₙ = K₀ · (1 + p/100)ⁿ. Odsetki po kolejnym okresie liczone są także od wcześniejszych odsetek, dlatego wzrost jest szybszy niż przy prostym dodawaniu. Punkt procentowy to różnica procentów: wzrost z 4% do 5% to 1 punkt procentowy, ale 25% wartości początkowej. Powrót do wartości po wzroście: po wzroście o 25% trzeba obniżyć o 20%, bo 1,25 · 0,8 = 1. Ćwicz ten temat (5) → Podzielność i proste dowody Liczba parzysta: 2k, nieparzysta: 2k + 1, przy czym k jest całkowite. Liczba dająca resztę r przy dzieleniu przez m: m · k + r. Wśród dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna jest parzysta, a wśród trzech kolejnych jedna dzieli się przez 3. Stąd n(n + 1) jest parzyste, a (n − 1)n(n + 1) = n³ − n dzieli się przez 6. Reszta iloczynu lub sumy zależy tylko od reszt czynników lub składników. Przykład nie jest dowodem: zdanie „dla każdego n” obala jeden kontrprzykład, ale nie potwierdza go nawet wiele przykładów. Ćwicz ten temat (4) → Wyrażenia algebraiczne Wzory skróconego mnożenia: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b). (a + b)² to nie a² + b²: brakuje wyrazu 2ab. Wyłączanie przed nawias: 3x²y − 6xy² = 3xy(x − 2y). Wyrażenie wymierne ma sens, gdy mianownik jest różny od 0. Skracać można tylko czynniki, nie składniki. Dzielenie wyrażeń wymiernych to mnożenie przez odwrotność; najpierw rozłóż liczniki i mianowniki na czynniki. Ćwicz ten temat (7) → Równania i nierówności Mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, zmieniamy jej zwrot: −2x > 4 daje x < −2. Równanie liniowe może być tożsamościowe (każda liczba jest rozwiązaniem) albo sprzeczne (brak rozwiązań). Równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0: Δ = b² − 4ac. Gdy Δ > 0: x = (−b ± √Δ)/(2a). Gdy Δ = 0: x = −b/(2a). Gdy Δ < 0: brak rozwiązań rzeczywistych. Nierówność kwadratową rozwiązujemy z miejsc zerowych i szkicu paraboli: gdy a > 0, wartości ujemne są między miejscami zerowymi. Równanie w postaci iloczynowej: iloczyn jest równy 0, gdy któryś czynnik jest równy 0. Nie dziel obu stron przez wyrażenie z x bez sprawdzenia znaku i zera: można zgubić rozwiązania. Przy ułamkach wypisz założenie: mianownik różny od 0. Ćwicz ten temat (10) → Układy równań Układ dwóch równań liniowych rozwiązujemy metodą podstawiania albo przeciwnych współczynników. Układ oznaczony ma jedno rozwiązanie: proste się przecinają. Układ nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań: proste się pokrywają. Układ sprzeczny nie ma rozwiązań: proste są równoległe i różne. Rozwiązanie zawsze sprawdzamy w obu równaniach. W zadaniu tekstowym oznacz dwie niewiadome i zapisz dwa niezależne warunki. Ćwicz ten temat (4) → Funkcje i ich własności Funkcja każdemu argumentowi z dziedziny przypisuje dokładnie jedną wartość. Dziedzina to zbiór argumentów, zbiór wartości to zbiór wartości funkcji. Miejsce zerowe to argument, dla którego f(x) = 0. Na wykresie: punkt przecięcia z osią Ox. Wykres y = f(x − a) to wykres f przesunięty o a w prawo (dla a > 0). Wykres y = f(x) + b to wykres f przesunięty o b w górę (dla b > 0). Funkcja f(x) = a/x opisuje wielkości odwrotnie proporcjonalne: iloczyn x · f(x) jest stały i równy a. Funkcja wykładnicza f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1) jest rosnąca dla a > 1, a malejąca dla 0 < a < 1; jej wartości są dodatnie. Funkcja logarytmiczna f(x) = logₐ x ma dziedzinę (0, +∞) i miejsce zerowe x = 1. Ćwicz ten temat (12) → Funkcja liniowa Wzór: f(x) = ax + b. Współczynnik a to współczynnik kierunkowy, a b to druga współrzędna punktu przecięcia z osią Oy. a > 0: funkcja rosnąca; a < 0: malejąca; a = 0: stała. Miejsce zerowe (dla a ≠ 0): x = −b/a. Prosta przez dwa punkty: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), a następnie b z podstawienia jednego punktu. W zastosowaniach a to zmiana na jednostkę (np. koszt za kilometr), a b to wartość początkowa (np. opłata startowa). Ćwicz ten temat (5) → Funkcja kwadratowa i optymalizacja Postać ogólna: f(x) = ax² + bx + c. Kanoniczna: f(x) = a(x − p)² + q, gdzie W = (p, q) to wierzchołek. Iloczynowa: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Wierzchołek: p = −b/(2a), q = f(p) = −Δ/(4a). a > 0: ramiona w górę, q to najmniejsza wartość. a < 0: ramiona w dół, q to największa wartość. Największą i najmniejszą wartość w przedziale domkniętym szukamy wśród wartości na końcach przedziału i w p, jeśli p należy do przedziału. Liczba miejsc zerowych zależy od Δ: Δ > 0 dwa, Δ = 0 jedno, Δ < 0 brak. Zadanie optymalizacyjne: zapisz wielkość jako funkcję kwadratową jednej zmiennej, ustal dziedzinę, znajdź wierzchołek i odpowiedz na pytanie. Ćwicz ten temat (11) → Ciągi Ciąg arytmetyczny: aₙ = a₁ + (n − 1)r; suma n początkowych wyrazów: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n. Ciąg geometryczny: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹; suma: Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ)/(1 − q) dla q ≠ 1. Trzy kolejne wyrazy: arytmetyczny, gdy 2b = a + c; geometryczny, gdy b² = a · c. Ciąg rosnący: aₙ₊₁ > aₙ dla każdego n. Sprawdzamy znak różnicy aₙ₊₁ − aₙ. Wyraz z sumy: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ dla n ≥ 2. Ciąg rekurencyjny liczymy wyraz po wyrazie od podanego początku. Ćwicz ten temat (12) → Trygonometria W trójkącie prostokątnym: sin α = przyprostokątna naprzeciw / przeciwprostokątna; cos α = przyprostokątna przy kącie / przeciwprostokątna; tg α = przyprostokątna naprzeciw / przyprostokątna przy kącie. Wartości: sin 30° = cos 60° = 1/2; sin 45° = cos 45° = √2/2; sin 60° = cos 30° = √3/2; tg 30° = √3/3; tg 45° = 1; tg 60° = √3. Tożsamości: sin²α + cos²α = 1 oraz tg α = sin α / cos α. Dla kąta rozwartego: sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, a sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α. Twierdzenie cosinusów: c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Pole trójkąta: P = (1/2) · a · b · sin γ, gdzie γ to kąt między bokami a i b. Ćwicz ten temat (7) → Planimetria Kąt wpisany ma miarę równą połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu są równe. Wycinek koła o kącie α: pole = (α/360°) · πr², długość łuku = (α/360°) · 2πr. Twierdzenie Talesa: proste równoległe wyznaczają na ramionach kąta odcinki proporcjonalne. Figury podobne w skali k: obwody są w stosunku k, a pola w stosunku k². Rodzaj trójkąta z najdłuższym bokiem c: a² + b² > c² ostrokątny, a² + b² = c² prostokątny, a² + b² < c² rozwartokątny. Punkty szczególne: środek okręgu wpisanego (dwusieczne), opisanego (symetralne), środek ciężkości (środkowe, podział 2 : 1), ortocentrum (wysokości). W trójkącie prostokątnym R = c/2 i r = (a + b − c)/2. Pole sześciokąta foremnego o boku a: 6 · a²√3/4. Ćwicz ten temat (14) → Geometria analityczna Odległość punktów: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Środek odcinka: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Proste y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂: równoległe, gdy a₁ = a₂; prostopadłe, gdy a₁ · a₂ = −1. Punkt wspólny dwóch prostych to rozwiązanie układu ich równań. Okrąg o środku (a, b) i promieniu r: (x − a)² + (y − b)² = r². Symetrie punktu (x, y): względem osi Ox: (x, −y); względem osi Oy: (−x, y); względem początku układu: (−x, −y). W równoległoboku ABCD przekątne dzielą się na połowy: A + C = B + D (współrzędnymi). Ćwicz ten temat (9) → Stereometria Graniastosłup: V = Pp · H. Ostrosłup: V = (1/3) · Pp · H. Walec: V = πr²H, Pb = 2πrH. Stożek: V = (1/3)πr²H, Pb = πrl, gdzie l² = r² + H². Kula: V = (4/3)πr³, P = 4πr². Przekątna sześcianu o krawędzi a: a√3. Przekątna prostopadłościanu: √(a² + b² + c²). Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między tą prostą a jej rzutem na płaszczyznę, np. kąt przekątnej bryły z przekątną podstawy. Kąt między ścianą boczną a podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego: tg α = H : (a/2). Bryły podobne w skali k: pola powierzchni w stosunku k², objętości w stosunku k³. Proste skośne nie przecinają się i nie są równoległe; mogą być prostopadłe, np. krawędzie AB i CG w sześcianie. Ćwicz ten temat (10) → Kombinatoryka Reguła mnożenia: gdy wybór składa się z kolejnych etapów, liczby możliwości w etapach mnożymy. Reguła dodawania: gdy przypadki się wykluczają, ich liczby dodajemy. Liczba trzycyfrowa: pierwsza cyfra nie może być zerem, więc ma 9 możliwości. Gdy warunek dotyczy kilku miejsc, zacznij od miejsca z największym ograniczeniem, np. ostatniej cyfry przy parzystości, i rozbij zadanie na przypadki. Ćwicz ten temat (4) → Prawdopodobieństwo i statystyka Model klasyczny: P(A) = liczba wyników sprzyjających : liczba wszystkich wyników, gdy wszystkie są jednakowo możliwe. Zdarzenie przeciwne: P(A′) = 1 − P(A). Często łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne. Rzut dwiema kostkami ma 6 · 6 = 36 wyników, a para wyników jest uporządkowana: (1, 2) i (2, 1) to dwa wyniki. Średnia ważona: (w₁x₁ + ... + wₙxₙ) : (w₁ + ... + wₙ). Mediana: po uporządkowaniu danych wartość środkowa, a przy parzystej liczbie danych średnia dwóch środkowych. Dominanta to wartość występująca najczęściej. Ćwicz ten temat (10) → Przykładowe zadania Zadanie 1 · Liczby rzeczywiste, potęgi i pierwiastki Liczba 27^(2/3) · 3^(−1) jest równa:
9 1/3 6 3 Odpowiedź: 3
27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9, a 3^(−1) = 1/3. Iloczyn: 9 · 1/3 = 3.
Zadanie 2 · Logarytmy Oblicz log₃ 81.
Odpowiedź: 4
3⁴ = 81, więc log₃ 81 = 4.
Zadanie 3 · Procenty, lokaty i kredyty Na lokatę wpłacono 5000 zł na rok przy oprocentowaniu 4% w skali roku. Ile złotych będzie na lokacie po roku? Pomiń podatek.
Odpowiedź: 5200
Odsetki: 4% · 5000 = 200 zł. Razem: 5000 + 200 = 5200 zł.
Zadanie 4 · Wyrażenia algebraiczne Wyrażenie (x − 3)² jest równe:
x² − 6x + 9 x² − 9 x² + 9 x² − 3x + 9 Odpowiedź: x² − 6x + 9
(a − b)² = a² − 2ab + b², więc x² − 2 · x · 3 + 9 = x² − 6x + 9. Zapis x² − 9 pomija wyraz środkowy.
Zadanie 5 · Równania i nierówności Zbiorem rozwiązań nierówności 3x − 5 ≤ 7 jest przedział:
(−∞, 4] (−∞, 4) [4, +∞) (−∞, 2/3] Odpowiedź: (−∞, 4]
3x ≤ 12, więc x ≤ 4. Nierówność jest nieostra, więc 4 należy do zbioru, stąd nawias kwadratowy.
Oficjalne arkusze CKE Na stronach poszczególnych lat znajdziesz arkusze i zasady oceniania ze wszystkich przedmiotów. Prowadzimy tam tylko linki, a materiały publikuje CKE. To arkusze Formuły 2023.
Wszystkie lata na stronie CKE ↗
Arkusze próbne CKE pojawią się na stronie CKE w dniu publikacji.