ПОЛЬЩА ТА СВІТДОБРИЙ НАПРЯМ ДЛЯ ОСВІТИПро NaukoMapa
PLENUK
Створити план навчання
NAUKOMAPA LAB

Математика, іспит восьмикласника

Повторення тем, приклади завдань із поясненнями та тести. Завдання авторські, а офіційні аркуші є на сайті CKE.

Застосунок NaukoMapa · незабаром

Повторювати найкраще в застосунку

Сайт — це швидкий тест без облікового запису. Застосунок для восьмикласників сам веде навчання й пам’ятає, що було важко.

Подивитися, що вміє застосунок →

Почати тест

Змішаний тестОбрати темуНайслабші темиРежим іспиту
Дата
11 травня 2027 р., 9:00
Час роботи
125 min
Пробний аркуш CKE
15 грудня 2026 р.

Стандартний час; із пристосуваннями він може бути довшим. CKE: komunikat o harmonogramie egzaminów w 2027 r. (20 sierpnia 2026) · CKE: informacja dyrektora o arkuszach przed egzaminami w 2027 r. (30 września 2026). Дані перевірено: 2026-11-04.

Теми й повторення

Натуральні та цілі числа

  • Ознаки подільності: на 2 – остання цифра парна; на 3 – сума цифр ділиться на 3; на 4 – число з двох останніх цифр ділиться на 4; на 5 – остання цифра 0 або 5; на 9 – сума цифр ділиться на 9.
  • НСД і НСК знаходимо через розклад на прості множники: до НСД беремо спільні множники, до НСК – кожен множник у найвищому степені. Для двох чисел: НСД · НСК = a · b.
  • Ділення з остачею: a = b · q + r, де 0 ≤ r < b. Остача завжди менша від дільника.
  • Просте число має рівно два дільники. Число 1 не є ні простим, ні складеним; єдине парне просте число – це 2.
  • Римська нумерація: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Менший знак перед більшим віднімаємо: IV = 4, XL = 40, CM = 900.
  • Цілі числа: додати від’ємне число означає відняти його модуль, наприклад 3 + (−5) = −2; відняти від’ємне число означає додати, наприклад 3 − (−5) = 8.
Потренуй цю тему (31) →

Звичайні та десяткові дроби

  • Щоб додати або відняти звичайні дроби, спочатку зводимо їх до спільного знаменника; додаємо лише чисельники.
  • Множення: a/b · c/d = (a · c)/(b · d). Ділення – це множення на обернений дріб: a/b : c/d = a/b · d/c.
  • Перед множенням і діленням мішане число перетворюємо на неправильний дріб: 2 1/3 = 7/3.
  • Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий, ділимо чисельник на знаменник. Десятковий запис може бути скінченним (3/8 = 0,375) або нескінченним періодичним (1/3 = 0,333...).
  • Порядок дій: спочатку дужки, потім степені й корені, далі множення і ділення, наприкінці додавання і віднімання.
  • Ціле за його частиною: якщо 3/5 числа дорівнюють 60, то число дорівнює 60 : 3/5 = 100.
Потренуй цю тему (34) →

Степені

  • Добуток степенів з однаковою основою: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ. Частка: aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (для a ≠ 0).
  • Степінь степеня: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ, наприклад (2³)⁴ = 2¹².
  • Добуток степенів з однаковим показником: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ, наприклад 4⁵ · 25⁵ = 100⁵.
  • Стандартний вигляд числа: a · 10ᵏ, де 1 ≤ a < 10, а k – ціле число, наприклад 0,0032 = 3,2 · 10⁻³ та 54 000 = 5,4 · 10⁴.
  • Сума однакових степенів – це не степінь суми: 2⁵ + 2⁵ = 2 · 2⁵ = 2⁶, а не 2¹⁰ і не 4¹⁰.
Потренуй цю тему (33) →

Корені

  • √a – це таке невід’ємне число, квадрат якого дорівнює a (a ≥ 0). ∛a – це число, куб якого дорівнює a.
  • √(a · b) = √a · √b та √(a : b) = √a : √b для a ≥ 0, b > 0.
  • Винесення множника: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Внесення множника: 3√5 = √(9 · 5) = √45.
  • Оцінювання: оскільки 8² = 64 і 9² = 81, то 8 < √70 < 9.
  • Формули кореня із суми немає: √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7.
Потренуй цю тему (35) →

Алгебраїчні вирази

  • Подібні доданки відрізняються лише числовим коефіцієнтом: 3x і −5x – подібні, а 3x і 3x² – ні.
  • Мінус перед дужками змінює знаки всіх доданків у дужках: −(x − 4) = −x + 4.
  • Множення суми на одночлен: a(b + c) = ab + ac.
  • Множення двочлена на двочлен: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, а потім зведення подібних доданків.
  • Значення виразу: число підставляємо в дужках, особливо від’ємне: для x = −2 маємо x² = (−2)² = 4.
  • Двоцифрове число з цифрою десятків a та цифрою одиниць b дорівнює 10a + b.
Потренуй цю тему (34) →

Рівняння та формули

  • Розв’язок рівняння – це число, яке після підстановки дає правильну рівність; це завжди можна перевірити.
  • Рівносильне рівняння отримуємо, додаючи до обох частин одне й те саме або множачи обидві частини на одне й те саме число, відмінне від 0.
  • Рівняння з дробами найзручніше помножити на спільний знаменник: (x − 1)/2 + x/3 = 3 множимо на 6.
  • Текстова задача: познач невідоме, запиши інші величини через нього, склади рівняння, розв’яжи, перевір за умовою.
  • Перетворення формул: шукану літеру вважай невідомим. Із s = v · t отримуємо t = s : v.
  • Послідовні парні або непарні числа записуємо як x, x + 2, x + 4.
Потренуй цю тему (38) →

Відсотки

  • p% числа b – це (p/100) · b, наприклад 15% від 240 = 0,15 · 240 = 36.
  • Скільки відсотків числа b становить a: (a : b) · 100%.
  • Число b, p% якого дорівнюють a: b = a : (p/100). Ціна до знижки на 20%, якщо тепер вона становить 80 зл: 80 : 0,8 = 100 зл.
  • Збільшення на p%: множимо на (1 + p/100). Зменшення на p%: множимо на (1 − p/100).
  • Дві послідовні зміни обчислюємо від нового значення. Збільшення на 10% і зменшення на 10% не повертають до початкової ціни: 1,1 · 0,9 = 0,99.
  • Концентрація розчину = (маса речовини : маса розчину) · 100%. Після доливання води маса речовини не змінюється.
Потренуй цю тему (36) →

Пропорційність і практичні обчислення

  • Прямо пропорційні величини: y = k · x; у скільки разів зростає x, у стільки ж разів зростає y.
  • Поділ у відношенні 2 : 3 : 4 означає 2 + 3 + 4 = 9 рівних частин, з яких беремо 2, 3 або 4.
  • Масштаб 1 : 25 000 означає, що 1 см на карті – це 25 000 см = 250 м на місцевості.
  • Шлях, швидкість, час: s = v · t, v = s : t, t = s : v. Хвилини перетворюємо на години: 15 хв = 0,25 год.
  • Перетворення швидкості: 1 м/с = 3,6 км/год, наприклад 54 км/год = 15 м/с.
  • Одиниці: 1 км = 1000 м, 1 т = 1000 кг, 1 кг = 100 дкг = 1000 г, 1 л = 1 дм³ = 1000 см³ = 1000 мл.
  • Календарні обчислення: через 7 днів настає той самий день тижня. Лютий має 28 або 29 днів.
Потренуй цю тему (36) →

Кути, трикутники, теорема Піфагора

  • Вертикальні кути рівні; суміжні кути в сумі дають 180°. За паралельних прямих відповідні та різносторонні кути рівні.
  • Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
  • Нерівність трикутника: кожна сторона менша від суми двох інших. Якщо a + b = c, трикутника немає, бо точки лежать на одній прямій.
  • Ознаки рівності трикутників: за трьома сторонами, за двома сторонами і кутом між ними, за стороною і двома прилеглими до неї кутами.
  • Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику a² + b² = c², де c – гіпотенуза.
  • Діагональ квадрата: d = a√2. Висота рівностороннього трикутника: h = a√3/2.
Потренуй цю тему (37) →

Многокутники та їхні площі

  • Площі: прямокутник S = a · b; квадрат S = a²; паралелограм S = a · h; трикутник S = a · h / 2.
  • Трапеція: S = (a + b) · h / 2. Ромб: S = e · f / 2, де e і f – діагоналі.
  • Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл, тому сторону обчислюємо за теоремою Піфагора.
  • Кожен квадрат є прямокутником і ромбом. Прямокутник не обов’язково є квадратом.
  • Правильний многокутник має всі сторони рівні й усі кути рівні, наприклад рівносторонній трикутник і квадрат. Ромб, який не є квадратом, не є правильним многокутником.
  • Площу трикутника можна обчислити через різні пари основа–висота; тому найкоротша висота – та, що проведена до найдовшої сторони.
  • Площу фігури часто обчислюємо, віднімаючи від площі прямокутника площі відрізаних трикутників.
Потренуй цю тему (33) →

Довжина кола і площа круга

  • Довжина кола: L = 2πr = πd, де d = 2r.
  • Площа круга: S = πr². Підставляємо радіус, а не діаметр.
  • Якщо відома довжина кола, то радіус r = L : (2π). Якщо відома площа, то r = √(S : π).
  • Якщо задача не вимагає наближення, залишаємо π у результаті, наприклад 16π см².
Потренуй цю тему (26) →

Числова пряма і система координат

  • Середина відрізка з кінцями A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂): S = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
  • Якщо відомі кінець A і середина S, то другий кінець – це B = (2·xₛ − x₁, 2·yₛ − y₁).
  • Довжину відрізка обчислюємо за теоремою Піфагора: |AB|² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².
  • Цілочислові точки на прямій AB можна знайти, повторюючи той самий зсув: якщо від A до B – 3 праворуч і 6 угору, то це також 1 праворуч і 2 угору.
  • На числовій прямій x ≥ 1,5 – це зафарбована точка і промінь праворуч; x < −4/7 – порожня точка і промінь ліворуч.
Потренуй цю тему (26) →

Призми та піраміди

  • Об’єм призми: V = Sₒ · H. Об’єм піраміди: V = (1/3) · Sₒ · H, де Sₒ – площа основи.
  • Площа повної поверхні: S = 2 · Sₒ + Sб для призми, S = Sₒ + Sб для піраміди, де Sб – площа бічної поверхні.
  • Правильна призма є прямою, а її основа – правильний многокутник. Правильна піраміда має в основі правильний многокутник, а основа її висоти лежить у його центрі.
  • У правильній чотирикутній піраміді: h² = H² + (a/2)², де h – висота бічної грані, а H – висота піраміди.
  • n-кутна призма має 3n ребер, 2n вершин і n + 2 грані. n-кутна піраміда має 2n ребер, n + 1 вершин і n + 1 граней.
  • Одиниці: 1 дм³ = 1 л = 1000 см³, 1 м³ = 1000 дм³.
Потренуй цю тему (33) →

Підрахунок і ймовірність

  • На іспиті для восьмикласників об’єкти підраховуємо, упорядковано виписуючи їх, без правила множення.
  • Імовірність = кількість сприятливих результатів : кількість усіх можливих результатів.
  • Імовірність – це завжди число від 0 до 1.
  • Кидання шестигранного кубика має 6 рівноможливих результатів, кидання монети – 2.
  • Числа від 1 до 30 – це 30 результатів; сприятливі випиши й порахуй, наприклад кратні 6: 6, 12, 18, 24, 30.
Потренуй цю тему (31) →

Дані та середнє арифметичне

  • Середнє арифметичне = сума значень : кількість значень.
  • Сума значень = середнє · кількість значень. Це придається, коли шукаємо пропущений результат.
  • На круговій діаграмі весь круг – це 360° і 100%. Сектор із кутом α – це α/360 цілого.
  • Читаючи дані, перевір одиницю і запитання: ідеться про значення, зміну чи частку в цілому?
  • Зміна значення: нове − старе. Запис «значення зростають» означає, що кожне наступне більше за попереднє.
Потренуй цю тему (27) →

Приклади завдань

Завдання 1 · Натуральні та цілі числа

Число MCMXLVII у десятковій системі числення – це:

  1. 2167
  2. 1927
  3. 1967
  4. 1947

Відповідь: 1947

M = 1000, CM = 900, XL = 40, VII = 7, отже, разом 1947. Результат 2167 виходить, якщо просто додати всі знаки, але C перед M та X перед L треба віднімати.

Завдання 2 · Звичайні та десяткові дроби

Сума 3/4 + 2/5 дорівнює:

  1. 6/20
  2. 5/9
  3. 1 3/20
  4. 1 1/4

Відповідь: 1 3/20

Спільний знаменник – 20: 15/20 + 8/20 = 23/20 = 1 3/20. Результат 5/9 хибний: знаменники не додають.

Завдання 3 · Степені

Добуток 2³ · 2⁴ дорівнює:

  1. 2¹²
  2. 4⁷
  3. 4¹²
  4. 2⁷

Відповідь: 2⁷

Під час множення степенів з однаковою основою показники додаємо, а основу залишаємо: 3 + 4 = 7, отже, 2⁷.

Завдання 4 · Корені

Значення виразу √(49/64) дорівнює:

  1. 7/32
  2. 7/64
  3. 7/8
  4. 49/8

Відповідь: 7/8

Корінь із частки: √49 : √64 = 7/8. Корінь добуваємо і з чисельника, і зі знаменника.

Завдання 5 · Алгебраїчні вирази

Вираз 3x − 2(x − 4) після спрощення має вигляд:

  1. x − 8
  2. x − 4
  3. 5x − 8
  4. x + 8

Відповідь: x + 8

3x − 2x + 8 = x + 8. Результат x − 8 виходить, якщо мінус перед дужками не змінить знак другого доданка.

Офіційні аркуші CKE

На сторінці кожного року є аркуші й критерії оцінювання з усіх предметів. Ми лише даємо посилання, матеріали публікує CKE.

Усі роки на сайті CKE ↗

Пробні аркуші CKE з’являться на сайті CKE в день публікації.