POLSKA & ŚWIATDOBRY KIERUNEK DLA EDUKACJIO NaukoMapie
PLENUK
Stwórz plan nauki
NAUKOMAPA LAB

Matematyka, egzamin ósmoklasisty

Powtórka tematów, przykładowe zadania z wyjaśnieniami i testy. Zadania są naszego autorstwa, a oficjalne arkusze znajdziesz na stronie CKE.

Aplikacja NaukoMapa · wkrótce

Powtarzać najlepiej w aplikacji

Strona to szybki test bez zakładania konta. Aplikacja dla ósmoklasistów sama prowadzi naukę i pamięta, co sprawiło Ci trudność.

Zobacz, co potrafi aplikacja →

Zacznij test

Test mieszanyWybierz tematNajsłabsze tematyTryb egzaminu
Termin
11 maja 2027, 9:00
Czas pracy
125 min
Arkusz próbny CKE
15 grudnia 2026

Czas standardowy; może być dłuższy przy dostosowaniach. CKE: komunikat o harmonogramie egzaminów w 2027 r. (20 sierpnia 2026) · CKE: informacja dyrektora o arkuszach przed egzaminami w 2027 r. (30 września 2026). Dane sprawdzone: 2026-11-04.

Tematy i powtórka

Liczby naturalne i całkowite

  • Cechy podzielności: przez 2 – ostatnia cyfra parzysta; przez 3 – suma cyfr podzielna przez 3; przez 4 – liczba z dwóch ostatnich cyfr podzielna przez 4; przez 5 – ostatnia cyfra 0 lub 5; przez 9 – suma cyfr podzielna przez 9.
  • NWD i NWW znajdujemy z rozkładu na czynniki pierwsze: do NWD bierzemy czynniki wspólne, do NWW każdy czynnik w najwyższej występującej potędze. Dla dwóch liczb: NWD · NWW = a · b.
  • Dzielenie z resztą: a = b · q + r, gdzie 0 ≤ r < b. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.
  • Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki. Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona; jedyną parzystą liczbą pierwszą jest 2.
  • System rzymski: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Mniejszy znak przed większym odejmujemy: IV = 4, XL = 40, CM = 900.
  • Liczby całkowite: dodanie liczby ujemnej to odjęcie jej wartości bezwzględnej, np. 3 + (−5) = −2; odjęcie liczby ujemnej to dodawanie, np. 3 − (−5) = 8.
Ćwicz ten temat (31) →

Ułamki zwykłe i dziesiętne

  • Dodając lub odejmując ułamki zwykłe, najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika; dodajemy tylko liczniki.
  • Mnożenie: a/b · c/d = (a · c)/(b · d). Dzielenie to mnożenie przez odwrotność: a/b : c/d = a/b · d/c.
  • Liczbę mieszaną zamieniamy przed mnożeniem i dzieleniem na ułamek niewłaściwy: 2 1/3 = 7/3.
  • Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik. Rozwinięcie może być skończone (3/8 = 0,375) albo nieskończone okresowe (1/3 = 0,333...).
  • Kolejność działań: najpierw nawiasy, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
  • Całość z części: jeśli 3/5 liczby to 60, to liczba jest równa 60 : 3/5 = 100.
Ćwicz ten temat (34) →

Potęgi

  • Iloczyn potęg o tej samej podstawie: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ. Iloraz: aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ (dla a ≠ 0).
  • Potęga potęgi: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ, np. (2³)⁴ = 2¹².
  • Iloczyn potęg o tym samym wykładniku: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ, np. 4⁵ · 25⁵ = 100⁵.
  • Notacja wykładnicza: a · 10ᵏ, gdzie 1 ≤ a < 10 i k jest liczbą całkowitą, np. 0,0032 = 3,2 · 10⁻³ oraz 54 000 = 5,4 · 10⁴.
  • Suma jednakowych potęg to nie potęga sumy: 2⁵ + 2⁵ = 2 · 2⁵ = 2⁶, a nie 2¹⁰ ani 4¹⁰.
Ćwicz ten temat (33) →

Pierwiastki

  • √a to taka liczba nieujemna, której kwadrat jest równy a (a ≥ 0). ∛a to liczba, której sześcian jest równy a.
  • √(a · b) = √a · √b oraz √(a : b) = √a : √b dla a ≥ 0, b > 0.
  • Wyłączanie czynnika: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Włączanie czynnika: 3√5 = √(9 · 5) = √45.
  • Szacowanie: skoro 8² = 64 i 9² = 81, to 8 < √70 < 9.
  • Nie ma wzoru na pierwiastek z sumy: √(9 + 16) = 5, a √9 + √16 = 7.
Ćwicz ten temat (35) →

Wyrażenia algebraiczne

  • Wyrazy podobne różnią się tylko współczynnikiem liczbowym: 3x i −5x są podobne, a 3x i 3x² nie.
  • Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich składników w nawiasie: −(x − 4) = −x + 4.
  • Mnożenie sumy przez jednomian: a(b + c) = ab + ac.
  • Mnożenie dwumianu przez dwumian: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, a następnie redukcja wyrazów podobnych.
  • Wartość wyrażenia: podstawiamy liczbę w nawias, szczególnie ujemną: dla x = −2 mamy x² = (−2)² = 4.
  • Liczba dwucyfrowa o cyfrze dziesiątek a i cyfrze jedności b jest równa 10a + b.
Ćwicz ten temat (34) →

Równania i wzory

  • Rozwiązanie równania to liczba, która po podstawieniu daje równość prawdziwą; zawsze można to sprawdzić.
  • Równanie równoważne otrzymujemy, dodając do obu stron to samo albo mnożąc obie strony przez tę samą liczbę różną od 0.
  • Równanie z ułamkami najwygodniej pomnożyć przez wspólny mianownik: (x − 1)/2 + x/3 = 3 mnożymy przez 6.
  • Zadanie tekstowe: oznacz niewiadomą, zapisz pozostałe wielkości za jej pomocą, ułóż równanie, rozwiąż, sprawdź z treścią.
  • Przekształcanie wzorów: traktuj szukaną literę jak niewiadomą. Z s = v · t otrzymujemy t = s : v.
  • Kolejne liczby parzyste lub nieparzyste zapisujemy jako x, x + 2, x + 4.
Ćwicz ten temat (38) →

Procenty

  • p% liczby b to (p/100) · b, np. 15% z 240 = 0,15 · 240 = 36.
  • Jaki procent liczby b stanowi a: (a : b) · 100%.
  • Liczba b, której p% to a: b = a : (p/100). Cena przed obniżką o 20%, gdy teraz jest 80 zł: 80 : 0,8 = 100 zł.
  • Podwyżka o p%: mnożymy przez (1 + p/100). Obniżka o p%: mnożymy przez (1 − p/100).
  • Dwie zmiany po kolei liczymy od nowej wartości. Podwyżka o 10% i obniżka o 10% nie wracają do ceny początkowej: 1,1 · 0,9 = 0,99.
  • Stężenie roztworu = (masa substancji : masa roztworu) · 100%. Po dolaniu wody masa substancji się nie zmienia.
Ćwicz ten temat (36) →

Proporcjonalność i obliczenia praktyczne

  • Wielkości wprost proporcjonalne: y = k · x; ile razy wzrośnie x, tyle razy wzrośnie y.
  • Podział w stosunku 2 : 3 : 4 oznacza 2 + 3 + 4 = 9 równych części, z których bierzemy 2, 3 lub 4.
  • Skala 1 : 25 000 znaczy, że 1 cm na mapie to 25 000 cm = 250 m w terenie.
  • Droga, prędkość, czas: s = v · t, v = s : t, t = s : v. Minuty zamieniamy na godziny: 15 min = 0,25 godz.
  • Zamiana prędkości: 1 m/s = 3,6 km/h, np. 54 km/h = 15 m/s.
  • Jednostki: 1 km = 1000 m, 1 t = 1000 kg, 1 kg = 100 dag = 1000 g, 1 l = 1 dm³ = 1000 cm³ = 1000 ml.
  • Obliczenia kalendarzowe: 7 dni później jest ten sam dzień tygodnia. Luty ma 28 lub 29 dni.
Ćwicz ten temat (36) →

Kąty, trójkąty, twierdzenie Pitagorasa

  • Kąty wierzchołkowe są równe; kąty przyległe sumują się do 180°. Przy prostych równoległych kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe.
  • Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
  • Nierówność trójkąta: każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Gdy a + b = c, trójkąt nie powstaje, bo punkty leżą na jednej prostej.
  • Cechy przystawania trójkątów: bbb (trzy boki), bkb (dwa boki i kąt między nimi), kbk (bok i dwa kąty do niego przyległe).
  • Twierdzenie Pitagorasa: w trójkącie prostokątnym a² + b² = c², gdzie c to przeciwprostokątna.
  • Przekątna kwadratu: d = a√2. Wysokość trójkąta równobocznego: h = a√3/2.
Ćwicz ten temat (37) →

Wielokąty i ich pola

  • Pola: prostokąt P = a · b; kwadrat P = a²; równoległobok P = a · h; trójkąt P = a · h / 2.
  • Trapez: P = (a + b) · h / 2. Romb: P = e · f / 2, gdzie e i f to przekątne.
  • Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy, więc bok liczymy z twierdzenia Pitagorasa.
  • Każdy kwadrat jest prostokątem i rombem. Prostokąt nie musi być kwadratem.
  • Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe, np. trójkąt równoboczny i kwadrat. Romb niebędący kwadratem nie jest foremny.
  • Pole trójkąta można policzyć z różnych par podstawa–wysokość; stąd najkrótsza wysokość to ta opuszczona na najdłuższy bok.
  • Pole figury często liczymy, odejmując od pola prostokąta pola odciętych trójkątów.
Ćwicz ten temat (33) →

Długość okręgu i pole koła

  • Długość okręgu: L = 2πr = πd, gdzie d = 2r.
  • Pole koła: P = πr². Podstawiamy promień, nie średnicę.
  • Jeśli znamy długość okręgu, promień to r = L : (2π). Jeśli znamy pole, to r = √(P : π).
  • Gdy zadanie nie każe podstawiać przybliżenia, zostawiamy π w wyniku, np. 16π cm².
Ćwicz ten temat (26) →

Oś liczbowa i układ współrzędnych

  • Środek odcinka o końcach A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂): S = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
  • Gdy znasz koniec A i środek S, drugi koniec to B = (2·xₛ − x₁, 2·yₛ − y₁).
  • Długość odcinka liczymy z twierdzenia Pitagorasa: |AB|² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².
  • Punkty kratowe na prostej AB znajdziesz, przesuwając się o tę samą zmianę: jeśli z A do B idziemy o 3 w prawo i 6 w górę, to także o 1 w prawo i 2 w górę.
  • Na osi liczbowej x ≥ 1,5 to zamalowane kółko i półprosta w prawo; x < −4/7 to puste kółko i półprosta w lewo.
Ćwicz ten temat (26) →

Graniastosłupy i ostrosłupy

  • Objętość graniastosłupa: V = Pp · H. Objętość ostrosłupa: V = (1/3) · Pp · H.
  • Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2 · Pp + Pb dla graniastosłupa, Pc = Pp + Pb dla ostrosłupa.
  • Graniastosłup prawidłowy ma podstawę będącą wielokątem foremnym i jest prosty. Ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a spodek wysokości w jego środku.
  • W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym: h² = H² + (a/2)², gdzie h to wysokość ściany bocznej, a H to wysokość bryły.
  • n-kątny graniastosłup ma 3n krawędzi, 2n wierzchołków, n + 2 ścian. n-kątny ostrosłup ma 2n krawędzi, n + 1 wierzchołków, n + 1 ścian.
  • Jednostki: 1 dm³ = 1 l = 1000 cm³, 1 m³ = 1000 dm³.
Ćwicz ten temat (33) →

Zliczanie i prawdopodobieństwo

  • Na egzaminie ósmoklasisty zliczamy obiekty, wypisując je w uporządkowany sposób, bez reguły mnożenia.
  • Prawdopodobieństwo = liczba wyników sprzyjających : liczba wszystkich możliwych wyników.
  • Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą od 0 do 1.
  • Rzut sześcienną kostką ma 6 równie możliwych wyników, rzut monetą 2.
  • Liczby od 1 do 30 to 30 wyników; sprzyjające wypisz i policz, np. wielokrotności 6: 6, 12, 18, 24, 30.
Ćwicz ten temat (31) →

Dane i średnia arytmetyczna

  • Średnia arytmetyczna = suma wartości : liczba wartości.
  • Suma wartości = średnia · liczba wartości. To przydaje się, gdy szukamy brakującego wyniku.
  • W diagramie kołowym cały krąg to 360° i 100%. Wycinek o kącie α to α/360 całości.
  • Czytając dane, sprawdź jednostkę i pytanie: czy chodzi o wartość, zmianę czy udział w całości.
  • Zmiana wartości: nowa − stara. Zapis „wartości rosną” oznacza, że każda kolejna jest większa od poprzedniej.
Ćwicz ten temat (27) →

Przykładowe zadania

Zadanie 1 · Liczby naturalne i całkowite

Liczba MCMXLVII zapisana w systemie dziesiątkowym to:

  1. 2167
  2. 1927
  3. 1967
  4. 1947

Odpowiedź: 1947

M = 1000, CM = 900, XL = 40, VII = 7, więc razem 1947. Wynik 2167 powstaje, gdy wszystkie znaki po prostu dodamy; tymczasem C przed M oraz X przed L się odejmuje.

Zadanie 2 · Ułamki zwykłe i dziesiętne

Suma 3/4 + 2/5 jest równa:

  1. 6/20
  2. 5/9
  3. 1 3/20
  4. 1 1/4

Odpowiedź: 1 3/20

Wspólny mianownik to 20: 15/20 + 8/20 = 23/20 = 1 3/20. Wynik 5/9 jest błędny: nie dodaje się mianowników.

Zadanie 3 · Potęgi

Iloczyn 2³ · 2⁴ jest równy:

  1. 2¹²
  2. 4⁷
  3. 4¹²
  4. 2⁷

Odpowiedź: 2⁷

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki, a podstawę zostawiamy: 3 + 4 = 7, więc 2⁷.

Zadanie 4 · Pierwiastki

Wartość wyrażenia √(49/64) jest równa:

  1. 7/32
  2. 7/64
  3. 7/8
  4. 49/8

Odpowiedź: 7/8

Pierwiastek z ilorazu: √49 : √64 = 7/8. Trzeba spierwiastkować zarówno licznik, jak i mianownik.

Zadanie 5 · Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie 3x − 2(x − 4) po uproszczeniu ma postać:

  1. x − 8
  2. x − 4
  3. 5x − 8
  4. x + 8

Odpowiedź: x + 8

3x − 2x + 8 = x + 8. Wynik x − 8 powstaje, gdy minus przed nawiasem nie zmieni znaku drugiego składnika.

Oficjalne arkusze CKE

Na stronach poszczególnych lat znajdziesz arkusze i zasady oceniania ze wszystkich przedmiotów. Prowadzimy tam tylko linki, a materiały publikuje CKE.

Wszystkie lata na stronie CKE ↗

Arkusze próbne CKE pojawią się na stronie CKE w dniu publikacji.